Exercice 1 (Introduction à R)
1. Commentez les sorties de R suite aux intructions suivantes.
log(-1)1/00/0log(2, base=23)round(exp(1),digit=3)asin(3/11)
log(-1)## Warning in log(-1): NaNs produced## [1] NaN1/0## [1] Inf0/0## [1] NaNlog(2, base=23)## [1] 0.2210647log(2)/log(23)## [1] 0.2210647round(exp(1),digit=3)## [1] 2.718asin(3/11)## [1] 0.27622662. Affectation
(a) En utilisant la fonction c, affecter les valeurs
\((10, 5, 3, 6, 21)\) au vecteur (au
sens de R) \(a\). Afficher \(a\).
a <- c(10, 5, 3, 6, 21)
a## [1] 10 5 3 6 21?c
help(cbind)(b) Extraire successivement le deuxième et le troisième élément de \(a\).
a[2]## [1] 5a[c(1,3)]## [1] 10 3(c) En utilisant la fonction matrix, affecter les
valeurs \((15, 3, 12, 2, 1)\) au
vecteur (au sens mathématique) \(b\).
Retourner \(b\).
b <- matrix(c(15, 3, 12, 2, 1))
b## [,1]
## [1,] 15
## [2,] 3
## [3,] 12
## [4,] 2
## [5,] 1(d) Pour voir la différence entre un vecteur et une matrice.
Demander nrow(a), ncol(a), dim(a) et de même pour \(b\).
nrow(a); ncol(a); dim(a)## NULL## NULL## NULLnrow(b); ncol(b); dim(b)## [1] 5## [1] 1## [1] 5 1Dans toute la suite, on considère des vecteurs au sens de R (i.e., sans dimension).
(e) Utiliser la fonction seq pour définir un vecteur
\(d\) composé des 5 premiers entiers
impairs.
d <- seq(from=1, to=9, by=2)
d## [1] 1 3 5 7 9(f) Créer un vecteur \(e\) composé des 5 premiers entiers.
e <- seq(from=1, to=5, by=1)
e## [1] 1 2 3 4 5# ou encore
e <- 1:5
e## [1] 1 2 3 4 5(g) A l’aide de la fonction rep, générer les vecteurs:
(1, 2, 3, 1, 2, 3) et (1, 1, 2, 2, 3, 3).
?rep
rep(1:3, times=2)## [1] 1 2 3 1 2 3rep(1:3, each=2)## [1] 1 1 2 2 3 3# ou encore
rep(1:3, rep(2,3))## [1] 1 1 2 2 3 3(h) Créer la matrice diagonale de dimension 3 dont les éléments de la diagonale sont 1, 5 et 9.
diag(c(1,5,9))## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 0 0
## [2,] 0 5 0
## [3,] 0 0 93. Manipulation de base
(a) Taper 2*a + b + 1, e[3], cos(a), exp(a).
Qu’obtient-on ?
a## [1] 10 5 3 6 21b## [,1]
## [1,] 15
## [2,] 3
## [3,] 12
## [4,] 2
## [5,] 12*a## [1] 20 10 6 12 422*a+b+1## [,1]
## [1,] 36
## [2,] 14
## [3,] 19
## [4,] 15
## [5,] 44cos(a); exp(a)## [1] -0.8390715 0.2836622 -0.9899925 0.9601703 -0.5477293## [1] 2.202647e+04 1.484132e+02 2.008554e+01 4.034288e+02 1.318816e+09(b) Taper a*e puis a%*%e. Comparer.
a## [1] 10 5 3 6 21e## [1] 1 2 3 4 5a*e## [1] 10 10 9 24 105a%*%e # si vecteurs produit scalaire, sinon produit mat## [,1]
## [1,] 158help("%*%")(c) Taper b%*%e. Que se passe-t-il? Taper
f <- t(b)%*%e, comparer.
b## [,1]
## [1,] 15
## [2,] 3
## [3,] 12
## [4,] 2
## [5,] 1e## [1] 1 2 3 4 5b%*%e## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 15 30 45 60 75
## [2,] 3 6 9 12 15
## [3,] 12 24 36 48 60
## [4,] 2 4 6 8 10
## [5,] 1 2 3 4 5b%*%t(as.matrix(e))## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 15 30 45 60 75
## [2,] 3 6 9 12 15
## [3,] 12 24 36 48 60
## [4,] 2 4 6 8 10
## [5,] 1 2 3 4 5f <- t(b)%*%e
f## [,1]
## [1,] 70(d) Taper cbind(b, e) puis
rbind(b, e).
cbind(b, e)## e
## [1,] 15 1
## [2,] 3 2
## [3,] 12 3
## [4,] 2 4
## [5,] 1 5rbind(b, e)## Warning in rbind(b, e): number of columns of result is not a multiple of vector
## length (arg 2)## [,1]
## 15
## 3
## 12
## 2
## 1
## e 1nrow(b);ncol(b)## [1] 5## [1] 1nrow(e);ncol(e)## NULL## NULL(e) Taper c(a,b).
a## [1] 10 5 3 6 21b## [,1]
## [1,] 15
## [2,] 3
## [3,] 12
## [4,] 2
## [5,] 1c(a,b)## [1] 10 5 3 6 21 15 3 12 2 1#- groupe matin
(f) Taper
sum(a), range(a), length(a) et summary(a)
sum(a) ## [1] 45range(a)## [1] 3 21length(a)## [1] 5summary(a)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 3 5 6 9 10 21(g) Saisir le vecteur \(u\) en
tapant u <- c(TRUE, FALSE, TRUE, TRUE). Evaluer les
instructions suivantes: !u, u | !u, any(u) et all(u).
u <- c(TRUE, FALSE, TRUE, TRUE)
!u## [1] FALSE TRUE FALSE FALSEu|!u## [1] TRUE TRUE TRUE TRUEany(u)## [1] TRUEall(u)## [1] FALSEExercice 2 (Manipulation de matrices)
1. Créer la matrice mat en executant les instructions
suivantes.
values <- c(1, 0, 3, 4, 5, 5, 0, 4, 5, 6, 3, 4, 0, 1, 3, 2)
length(values)## [1] 16mat <- matrix(
nrow = 4,
ncol = 4,
data = values)
mat## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 1 5 5 0
## [2,] 0 5 6 1
## [3,] 3 0 3 3
## [4,] 4 4 4 22. Créer le vecteur vec contenant les éléments de la
diagonale de mat.
vec <- diag(mat)
vec## [1] 1 5 3 23. Créer la matrice submat contenant les deux premières
lignes de mat, et la matrice submat2 contenant
les deux dernières colonnes de mat.
submat <- mat[1:2, ]
submat2 <- mat[ ,(ncol(mat)-1):ncol(mat)]
submat## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 1 5 5 0
## [2,] 0 5 6 1submat2## [,1] [,2]
## [1,] 5 0
## [2,] 6 1
## [3,] 3 3
## [4,] 4 24. Créeer la matrice smallmat composée des colonnes de
mat dont tous les éléments sont inférieurs à 5 (utiliser
apply et all), et la matrice notzero composée des lignes de
mat dont tous les éléments sont non nuls.
smallmat <- mat[ , apply(mat<5, 2, all)]
mat!=0## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] TRUE TRUE TRUE FALSE
## [2,] FALSE TRUE TRUE TRUE
## [3,] TRUE FALSE TRUE TRUE
## [4,] TRUE TRUE TRUE TRUEapply(mat!=0, 1, all)## [1] FALSE FALSE FALSE TRUEmat[apply(mat!=0, 1, all), ]## [1] 4 4 4 2matrix(mat[apply(mat!=0, 1, all),],ncol=4)## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 4 4 4 2mat[apply(mat!=0, 1, all),, drop=F]## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 4 4 4 25. Générer la matrice mat2 par la commande suivante
mat2 <- matrix(1:16, nrow=4), puis saisir et comparer
les deux commandes suivantes: mat * mat2 et
mat % * % mat2.
mat2 <- matrix(1:16, nrow=4)
mat; mat2## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 1 5 5 0
## [2,] 0 5 6 1
## [3,] 3 0 3 3
## [4,] 4 4 4 2## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 1 5 9 13
## [2,] 2 6 10 14
## [3,] 3 7 11 15
## [4,] 4 8 12 16mat * mat2 #produit terme à terme## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 1 25 45 0
## [2,] 0 30 60 14
## [3,] 9 0 33 45
## [4,] 16 32 48 32mat %*% mat2 # produit matriciel## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 26 70 114 158
## [2,] 32 80 128 176
## [3,] 24 60 96 132
## [4,] 32 88 144 200Exercice 3 (Résolution d’un système linéaire)
Soient \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 3 & 1\\ \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} . \]
1. Saisir la matrice \(A\) et le veteur \(b\).
compo <- c(1, 0, 0, 0, 1, 3, 0, 2, 1)
A <- matrix(
nrow = 3, ncol = 3,
data = compo)
A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 0 0
## [2,] 0 1 2
## [3,] 0 3 1b <- c(1, 2, 1)2. La matrice A est-elle inversible ? Calculer son déterminant.
det(A)## [1] -53. Résoudre le système linéaire \(Ax=b\) (en utilisant la fonction
solve).
x <- solve(A, b)
x## [1] 1 0 1Exercice 4 (Boucle for)
1. Créer une boucle for qui permet de calculer la
factorielle d’un nombre.
n <- 6
out <- 1
for (i in 1:n) {
out <- out * i
}
out## [1] 720a <- 30
fact <- function(n = 1) {
out <- 1
for (i in 1:n) {
out <- out * i * a
}
out
return(list("factorial"=out,
"blabla"=3))
}
fact(6)## $factorial
## [1] 5.2488e+11
##
## $blabla
## [1] 32. Réutiliser le code de la question précédente pour en faire une fonction qui prend comme argument un entier positif, et qui retourne sa factorielle. Avant d’effectuer le calcul, la fonction vérifie le type de l’argument. Si celui-ci n’est pas conforme, alors la fonction retourne un message d’erreur.
myfactorial <- function(n){
if (!n%%1==0 | (sign(n) == -1)) {
# attention is.integer ne teste pas si un nombre est entier, voir l'aide associee
warning("The input argument must be a positive integer")
}
out <- 1
for (i in 1:n) {
out <- out * i
}
return(out) # ou rien par defaut la dernière instruction declaree est renvoyee
}
myfactorial(6)## [1] 720On pourrait également utiliser la fonction \(\Gamma\) (comme dans la fonction
factorial de R).
?factorialExercice 5 (Divisibilité)
Ecrire une fonction R qui prend deux arguments \(K\) et \(Q\). Cette fonction vérifie si \(K\) et \(Q\) sont des entiers positifs. Ensuite,
elle considère le vecteur des entiers de 1 à \(K\), et détermine combien d’éléments de ce
vecteur sont exactement divisible par \(Q\).
myFun <- function(K, Q){
if (!K%%1==0 | (sign(K) == -1)){stop("K must be a positive integer")}
if (!Q%%1==0 | (sign(Q) == -1)){stop("Q must be a positive integer")}
allelements <- 1:K
remainders <- 1:K %% Q
sum(remainders == 0)
}
myFun(2048,2)## [1] 1024Exercice 6 (Fibonacci)
Utiliser une boucle for pour reproduire la suite de
Fibonacci jusqu’à son dixième terme (la séquence \(F_n\) est définie par la relation de
récurrence suivante : \(F_n =
F_{n-1}+F_{n-2}\) ; les valeurs initiales sont \(F_0=0\) et \(F_1=1\)).
fibona <- function(n){
fibo <- rep(NA, n)
fibo[1] <- 0
fibo[2] <- 1
for (i in 3:length(fibo)){
fibo[i] <- fibo[i-1] + fibo[i-2]
}
return(fibo)
}
fibona(10)## [1] 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34Exercice 7 (Racine d’un polynôme et graphiques)
On souhaite trouver les solutions de l’équation \[
2x^2-8x+6=0.
\] ## 1. En rappelant la formule du discriminant, calculer les
racines avec R. Puis tracer sur un graphique à l’aide de la
fonction curve la courbe représentative du polynôme du
second degré sur l’intervalle \([0,5]\). Tracer la droite horizontale
d’équation \(y=0\), les droites
verticales passant par les racines en les faisant figurer sur le graphe
(e.g., avec la fonction points).
a <- 2
b <- -8
c <- 6
delta <- b^2-4*a*c
x1 <- (-b+sqrt(delta))/(2*a)
x2 <- (-b-sqrt(delta))/(2*a)
## 2.
poly <- function(x) 2*x^2-8*x+6
curve(2*x^2-8*x+6, 0, 5)
x <- seq(0,5,length.out=100)
plot(x,poly(x))
abline(h=0,col="red")
#abline(0:5,0,col="red")
abline(v=x1,col="blue")
abline(v=x2,col="blue")
points(x1, 0, pch = 8)
points(x2, 0, pch = 8)
Exercice 8 (Graphiques suite)
1. Construire une fonction qui calcule la valeur de la fonction f définie par
\[ f(x) = \sin(x)^2+\sqrt{|x-3|}. \]
f <- function(x) {
sin(x) ^ 2 + sqrt(abs(x-3))
}2. Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) sur le domaine \([-6,3]\).
values <- seq(-6, 3, by = 0.05)
plot(values,
f(values),
type="l",
xlab="x",
ylab="f(x)",
ylim=range(f(values)))
Ou encore, en utilisant la fonction curve (pas besoin de discrétiser le domaine de définition de la fonction)
curve(f, from = -6, to=3)
Une autre possiblité est d’utiliser le package ggplot2,
très populaire dans la communauté des utilisateur de R.
library(ggplot2)
p <- ggplot(data = data.frame(x = 0),
mapping = aes(x = x))
p + stat_function(fun = f) + xlim(-6,3)
3. Ajouter sur le graphique précédent la courbe correspondant à la fonction \(g\) définie par
\[ g(x)= \begin{cases} \sin(x)\ln(x) & x>0\\ 3+\sin^2(x) &x\leq 0. \end{cases} \] On commence par définir \(g\) (sans boucle):
g <- function(x){
out <- rep(0, length(x))
xpositive <- x[x>0]
xnegative <- x[x<=0]
out[which(x>0)] <- (sin(xpositive)) * log(xpositive)
out[which(x<=0)] <- (sin(xnegative)**2) * xnegative + 3
return(out)
} gg <- function(x) {
ifelse(x > 0,
sin(x) * log(x),
3 + sin(x)^2)
}Avec plot() et lines()
plot(values,
f(values),
type="l",
xlab="x",
ylab="y",
ylim=range(c(g(values), f(values))))
lines(values, g(values), col="red")
legend("bottomleft", legend=c("f(x)", "g(x)"), col=1:2, lty=1)
Autre possiblité avec plot() et
par(new=TRUE)
plot(values,
f(values),
type="l",
xaxt="n", yaxt="n",
xlab="",
ylab="")
par(new=TRUE)
plot(values,
g(values),
col="red",
type="l",
xlab="x",
ylab="y",
ylim=range(c(g(values), f(values))))
legend(2,3.5, legend=c("f(x)", "g(x)"), col=1:2, lty=1)
Ou encore avec curve
curve(f, from = -6, to = 3, ylab = "y",
ylim = range(c(g(values), f(values))))
curve(g, add=T,col="red")
Et enfin avec ggplot2
ggplot(data.frame(x = c(-6, 3)), aes(x = x)) +
stat_function(fun = f, aes(colour = "f")) +
stat_function(fun = g, aes(colour = "g")) +
scale_colour_manual("Legende", values = c("deeppink", "dodgerblue3"))